Navier-Stokes-vergelijkingen. Wiskundige modellering. Oplossing van systemen van differentiaalvergelijkingen

Het Navier-Stokes-vergelijkingensysteem wordt gebruikt voortheorie van de stabiliteit van bepaalde stromingen, evenals om turbulentie te beschrijven. Daarnaast is het gebaseerd op de ontwikkeling van mechanica, die direct gerelateerd is aan algemene wiskundige modellen. Over het algemeen hebben deze vergelijkingen een enorme hoeveelheid informatie en zijn ze weinig bestudeerd, maar ze werden afgeleid in het midden van de negentiende eeuw. De belangrijkste gevallen die voorkomen, worden beschouwd als klassieke ongelijkheden, dat wil zeggen, een ideale inviscide vloeistof en grenslagen. Het resultaat van de oorspronkelijke gegevens kunnen de vergelijkingen zijn van akoestiek, stabiliteit, gemiddelde turbulente bewegingen, interne golven.

De vorming en ontwikkeling van ongelijkheden

De originele Navier-Stokes-vergelijkingen hebbenenorme data van fysieke effecten, en onderzoeksongelijkheden verschillen in die zin dat ze de complexiteit van karakteristieke kenmerken hebben. Vanwege het feit dat ze ook niet-lineair, niet-stationair zijn, met de aanwezigheid van een kleine parameter met een inherent hoogste derivaat en de aard van de beweging van de ruimte, kunnen ze met numerieke methoden worden bestudeerd.

Directe wiskundige modelleringturbulentie en vloeiende beweging in de structuur van niet-lineaire differentiaalvergelijkingen heeft een directe en fundamentele waarde in dit systeem. De numerieke oplossingen van Navier-Stokes waren complex, afhankelijk van een groot aantal parameters. Daarom veroorzaakten ze discussies en werden ze als ongebruikelijk beschouwd. Echter, in de jaren 60 legde de basis voor de ontwikkeling van hydrodynamica en wiskundige methoden, de vorming en verbetering, evenals de brede distributie van computers.

Verdere informatie over het Stokes-systeem

Moderne wiskundige modellering in de structuur van Navier-ongelijkheden is volledig gevormd en wordt beschouwd als een onafhankelijke richting op het gebied van kennis:

• vloeistof- en gasmechanica;
• aerohydrodynamics;
• werktuigbouwkunde;
• energie;
• natuurlijke verschijnselen;
• technologie.

De meeste toepassingen van deze aardvereist constructieve en snelle workflow-oplossingen. Exacte berekening van alle variabelen in dit systeem verhoogt de betrouwbaarheid, vermindert het metaalverbruik, het volume aan energieschema's. Als gevolg hiervan worden de verwerkingskosten verlaagd, de operationele en technologische component van machines en apparaten verbeterd, de kwaliteit van materialen hoger. Continue groei en productiviteit van computers biedt de mogelijkheid om numerieke modellering te verbeteren, evenals vergelijkbare methoden voor het oplossen van systemen van differentiaalvergelijkingen. Alle wiskundige methoden en systemen ontwikkelen zich objectief onder invloed van de ongelijkheden van Navier-Stokes, die aanzienlijke reserves aan kennis bevatten.

Natuurlijke convectie

De taken van de mechanica van een viskeuze vloeistof werden bestudeerdgebaseerd op Stokes-vergelijkingen, natuurlijke convectieve warmte en massaoverdracht. Bovendien hebben toepassingen op dit gebied als gevolg van theoretische werkwijzen vooruitgang geboekt. De heterogeniteit van de temperatuur, de samenstelling van de vloeistof, het gas en de zwaartekracht veroorzaken bepaalde fluctuaties, die natuurlijke convectie worden genoemd. Het is ook zwaartekracht, dat ook is verdeeld in thermische en concentratietakken.

Deze term wordt onder andere gedeeld.thermocapillair en andere vormen van convectie. Bestaande mechanismen zijn universeel. Ze zijn betrokken en liggen ten grondslag aan de meeste gasbewegingen, vloeistoffen die worden gevonden en aanwezig zijn in de natuurlijke sfeer. Bovendien hebben de structurele elementen op basis van thermische systemen, evenals homogeniteit, thermische isolatie-efficiëntie, scheiding van stoffen en structurele perfectie van materialen gecreëerd vanuit de vloeibare fase, invloed en invloed.

Kenmerken van deze klasse bewegingen

Fysieke criteria worden uitgedrukt in een complexe interne structuur. In dit systeem zijn de kern van de stroom en de grenslaag moeilijk te isoleren. Daarnaast zijn de functies de volgende variabelen:

• wederzijdse invloed van verschillende velden (beweging, temperatuur, concentratie);
• de sterke afhankelijkheid van de bovenstaande parameters vindt plaats op de grens, initiële condities, die op hun beurt de similariteitscriteria en verschillende gecompliceerde factoren bepalen;
• numerieke waarden in de natuur, technologische verandering in brede zin;
• als gevolg hiervan wordt de werking van technische en soortgelijke installaties moeilijk.

De fysieke eigenschappen van stoffen die binnenkomeneen breed bereik onder invloed van verschillende factoren, evenals geometrie en randvoorwaarden beïnvloeden de taken van convectie en elk gespecificeerd criterium speelt een belangrijke rol. De kenmerken van massatransfer en warmte hangen af ​​van een verscheidenheid aan gewenste parameters. Voor praktische toepassingen zijn traditionele definities nodig: stromen, verschillende elementen van structurele modi, temperatuurscheiding, convectiestructuur, micro- en macroheterogeniteit van concentratievelden.

Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en hun oplossing

Mathematische modellering, of anders,methoden voor computationele experimenten worden ontwikkeld waarbij rekening wordt gehouden met een specifiek systeem van niet-lineaire vergelijkingen. De verbeterde vorm van het verwijderen van ongelijkheden bestaat uit verschillende fasen:

1. De keuze van het fysieke model van het fenomeen dat wordt onderzocht.
2. De definiërende beginwaarden zijn gegroepeerd in een gegevensverzameling.
3. Een wiskundig model voor het oplossen van de Navier-Stokes-vergelijkingen en randvoorwaarden in welke mate dan ook beschrijft het gecreëerde fenomeen.
4. Een methode of methode voor het berekenen van het probleem wordt ontwikkeld.
5. Er wordt een programma gemaakt voor het oplossen van systemen van differentiaalvergelijkingen.
6. Berekeningen, analyse en verwerking van resultaten.
7. Toepassing in de praktijk.

Uit dit alles volgt dat de hoofdtaak isOp basis van deze acties de juiste conclusie bereiken. Dat wil zeggen dat het fysieke experiment dat in de praktijk wordt gebruikt, bepaalde resultaten naar voren brengt en een conclusie trekt over de juistheid en toegankelijkheid van het model of computerprogramma dat is ontwikkeld omwille van dit fenomeen. Uiteindelijk kunt u de verbeterde berekeningsmethode beoordelen of dat deze moet worden verbeterd.

Oplossing van systemen van differentiaalvergelijkingen

Elke opgegeven fase is afhankelijk vangegeven domeinparameters. De wiskundige methode wordt uitgevoerd om systemen van niet-lineaire vergelijkingen op te lossen die behoren tot verschillende klassen van problemen en hun calculus. De inhoud van elk vereist volledigheid, nauwkeurigheid van fysieke beschrijvingen van het proces, evenals kenmerken in de praktische toepassingen van elk van de bestudeerde vakgebieden.

Wiskundige berekening op basis vanMethoden voor het oplossen van niet-lineaire Stokes-vergelijkingen worden toegepast in vloeistof- en gasmechanica en worden beschouwd als de volgende stap na de theorie van Euler en de grenslaag. Dus, in deze versie van de berekening zijn er hoge eisen aan efficiëntie, snelheid en perfectie van verwerking. Vooral deze richtlijnen zijn van toepassing op stroomregimes die mogelijk de stabiliteit verliezen en overgaan op turbulentie.

Meer over de actieketen

Technologische keten, meer precies, wiskundigstadia moeten worden voorzien van continuïteit en gelijke sterkte. De numerieke oplossing van de Navier-Stokes-vergelijkingen bestaat uit discretisatie - bij de constructie van een eindig-dimensionaal model zullen er enkele algebraïsche ongelijkheden in de compositie en een methode van dit systeem zijn. Een specifieke berekeningsmethode wordt bepaald door verschillende factoren, waaronder: kenmerken van de klasse van taken, vereisten, technische mogelijkheden, tradities en kwalificaties.

Numerieke oplossingen van niet-stationaire ongelijkheden

Om een ​​calculus-systeem voor problemen te bouwenhet is noodzakelijk om de volgorde van de Stokes-differentiaalvergelijking te bepalen. In feite bevat het het klassieke schema van tweedimensionale ongelijkheden voor convectie, warmte en massaoverdracht van Boussinesq. Dit alles is afgeleid van de algemene klasse van het Stokes probleem van samendrukbare vloeistof, waarvan de dichtheid niet afhankelijk is van druk, maar een relatie heeft met temperatuur. In theorie wordt het beschouwd als dynamisch en statisch stabiel.

Met de Boussinesq-theorie, alle thermodynamischparameters en hun waarden in geval van afwijkingen veranderen niet veel en blijven in overeenstemming met statisch evenwicht en daarmee samenhangende condities. Het model gecreëerd op basis van deze theorie houdt rekening met minimale fluctuaties en mogelijke meningsverschillen in het systeem in het proces van het veranderen van de samenstelling of temperatuur. De Boussinesq-vergelijking ziet er dus als volgt uit: p = p (c, T). Temperatuur, onzuiverheid, druk. Bovendien is de dichtheid een onafhankelijke variabele.

De essentie van de Boussinesq-theorie

Om convectie te beschrijven, in de Boussinesq-theorievan toepassing zijnde belangrijke onderscheidende eigenschap van het systeem, dat geen hydrostatische effecten van samendrukbaarheid bevat. Akoestische golven manifesteren zich in een systeem van ongelijkheden als dichtheid en druk afhangen. Vergelijkbare effecten worden gefilterd bij het berekenen van temperatuurafwijkingen en andere variabelen van statische waarden. Deze factor beïnvloedt het ontwerp van computationele methoden aanzienlijk.

Echter, als er wijzigingen optreden ofverschillen in onzuiverheden, variabelen, hydrostatische druk toeneemt, dan moet de vergelijking worden aangepast. De Navier-Stokes-vergelijkingen en gewone ongelijkheden hebben verschillen, vooral voor het berekenen van de convectie van samendrukbaar gas. In deze taken zijn er tussentijdse wiskundige modellen die rekening houden met veranderingen in de fysieke eigenschappen, of een gedetailleerde beschrijving van veranderingen in dichtheid, die afhangt van temperatuur en druk en concentratie.

Kenmerken en kenmerken van de Stokes-vergelijkingen

Navier en zijn ongelijkheden vormen de basisconvectie, bovendien, hebben specificiteit, bepaalde kenmerken die verschijnen en worden uitgedrukt in numerieke belichaming, en zijn ook niet afhankelijk van de vorm van het record. Een karakteristiek kenmerk van deze vergelijkingen is de ruimtelijk-elliptische essentie van oplossingen, die te wijten is aan viskeuze stroming. Om dit op te lossen, is het noodzakelijk om typische methoden te gebruiken en toe te passen.

Ongelijkheid van de grenslaag is anders. Deze voorwaarden vereisen bepaalde voorwaarden. In het Stokes-systeem is er een hogere afgeleide waardoor de oplossing verandert en glad wordt. De grenslaag en de wanden groeien, op het einde, deze structuur is niet-lineair. Dientengevolge, de gelijkenis en de relatie met het hydrodynamische type, evenals met onsamendrukbare vloeistof, traagheidscomponenten, de hoeveelheid beweging in de gewenste problemen.

Het kenmerk van niet-lineariteit in ongelijkheden

Bij het oplossen van systemen van Navier-Stokes-vergelijkingengrote Reynolds-getallen worden in aanmerking genomen, wat leidt tot complexe ruimte-tijdstructuren. Bij natuurlijke convectie is er geen snelheid die in de taken wordt vastgelegd. Het Reynolds-getal speelt dus een grootschalige rol in de opgegeven waarde en wordt ook gebruikt om verschillende gelijkheden te verkrijgen. Bovendien wordt het gebruik van deze optie veel gebruikt om antwoorden te krijgen met de systemen van Fourier, Grashof, Schmidt, Prandtl en anderen.

In de Boussinesq-benadering verschillen de vergelijkingenspecificiteit, vanwege het feit dat een aanzienlijk deel van de wederzijdse invloed van temperatuur- en stromingsvelden te wijten is aan bepaalde factoren. De niet-standaard stroom van de vergelijking is te wijten aan instabiliteit, het laagste Reynolds-getal. In het geval van isotherme vloeistofstroming verandert de situatie met ongelijkheden. Verschillende modi zijn opgenomen in de niet-stationaire Stokes-vergelijkingen.

De essentie en ontwikkeling van numeriek onderzoek

Tot voor kort was het lineair hydrodynamischde vergelijkingen impliceerden het gebruik van grote Reynolds-getallen en numerieke studies van het gedrag van kleine verstoringen, bewegingen en andere. Tegenwoordig impliceren verschillende trends numerieke simulatie met directe voorvallen van overgangs- en turbulente regimes. Dit alles wordt opgelost door het systeem van niet-lineaire Stokes-vergelijkingen. Het numerieke resultaat is in dit geval de ogenblikkelijke waarde van alle velden volgens de opgegeven criteria.

Omgaan met voorbijgaande resultaten

Momentele eindwaarden zijnnumerieke implementaties die zich lenen voor dezelfde systemen en statistische verwerkingsmethoden als lineaire ongelijkheden. Andere manifestaties van beweging non-stationariteit worden uitgedrukt in variabele interne golven, gelaagde vloeistof, etc. Echter, in het eindresultaat, al deze waarden worden beschreven door het oorspronkelijke systeem van vergelijkingen en worden verwerkt en geanalyseerd door gevestigde waarden en schema's.

Andere manifestaties van non-stationariteit zijn uitgesproken.golven, die worden beschouwd als een overgangsproces van de evolutie van initiële verstoringen. Bovendien zijn er klassen van niet-stationaire bewegingen die samenhangen met verschillende massakrachten en hun trillingen, evenals met thermische omstandigheden die variëren over een tijdsinterval.