Wiskundige slinger: periode, versnelling en formules
Mechanisch systeem dat bestaat uitEen materiaalpunt (lichaam) dat hangt aan een onrekbare gewichtloze draad (het gewicht is verwaarloosbaar in vergelijking met het lichaamsgewicht) in een uniform zwaartekrachtveld wordt een wiskundige slinger genoemd (ook wel een oscillator genoemd). Er zijn andere typen van dit apparaat. In plaats van een draad kan een gewichtloze staaf worden gebruikt. De wiskundige slinger kan de essentie van vele interessante verschijnselen duidelijk onthullen. Met een kleine amplitude van oscillatie wordt zijn beweging harmonische genoemd.
Algemene informatie over het mechanische systeem
Als de slinger zich in de evenwichtspositie bevindt(verticaal hangend), dan wordt de zwaartekracht in evenwicht gebracht door de spankracht van de draad. Een vlakke slinger op een onrekbaar filament is een systeem met twee vrijheidsgraden met een verbinding. Wanneer slechts één component wordt gewijzigd, veranderen de kenmerken van alle onderdelen. Dus als de draad wordt vervangen door een stang, heeft dit mechanische systeem slechts 1 vrijheidsgraad. Wat zijn de eigenschappen van de wiskundige slinger? In dit eenvoudigste systeem vindt chaos plaats onder invloed van een periodieke verstoring. In het geval dat het ophangpunt niet beweegt, maar oscilleert, verschijnt er een nieuwe evenwichtspositie op de slinger. Met snelle schommelingen op en neer, krijgt dit mechanische systeem een stabiele positie "ondersteboven." Ze heeft haar eigen naam. Het wordt de Kapitsa-slinger genoemd.
Slinger eigenschappen
• Als, met dezelfde lengte van de slinger,Hang verschillende belastingen op, de periode van hun oscillaties zal hetzelfde zijn, hoewel hun massa sterk zal variëren. Bijgevolg hangt de periode van een dergelijke slinger niet af van de massa van de lading.
• Als, wanneer het systeem start, de slinger wordt afgebogenniet te grote maar verschillende hoeken, het zal beginnen te oscilleren met dezelfde periode, maar met verschillende amplitudes. Zolang de afwijkingen van het evenwichtscentrum niet te groot zijn, zullen de oscillaties in hun vorm tamelijk dichtbij harmonische zijn. De periode van een dergelijke slinger is niet afhankelijk van de oscillerende amplitude. Deze eigenschap van dit mechanische systeem wordt isochronisme genoemd (in het Grieks is "chronos" tijd, "isos" is gelijk).
De periode van de wiskundige slinger
Deze indicator is een puntnatuurlijke vibraties. Ondanks de gecompliceerde formulering, is het proces zelf heel eenvoudig. Als de lengte van de draad van de wiskundige slinger L is en de versnelling van de zwaartekracht g is, dan is deze waarde gelijk aan:
T = 2π√L / g
De periode van kleine natuurlijke oscillaties is op geen enkele manier afhankelijk van de massa van de slinger en de amplitude van oscillaties. In dit geval beweegt de slinger als een wiskunde met een beperkte lengte.
Oscillaties van de wiskundige slinger
De wiskundige slinger oscilleert, die kan worden beschreven door een eenvoudige differentiaalvergelijking:
x + ω2 sin x = 0,
waarbij x (t) een onbekende functie is (dit is de hoekafwijkingen van de lagere evenwichtspositie op tijdstip t, uitgedrukt in radialen); ω is een positieve constante, die wordt bepaald op basis van de parameters van de slinger (ω = √g / L, waarbij g de versnelling van de zwaartekracht is en L de lengte is van de wiskundige slinger (schorsing).
De vergelijking van kleine oscillaties nabij de evenwichtspositie (harmonische vergelijking) ziet er als volgt uit:
x + ω2 sin x = 0
Oscillerende beweging van de slinger
Wiskundige slinger die klein maaktoscillatie, bewegend langs een sinusgolf. De differentiaalvergelijking van de tweede orde voldoet aan alle eisen en parameters van een dergelijke beweging. Om het traject te bepalen, is het noodzakelijk om de snelheid en de coördinaat in te stellen, van waaruit vervolgens de onafhankelijke constanten worden bepaald:
x = Een zonde (θ0 + ωt),
waar θ0 Is de beginfase, A is de amplitude van de oscillatie, w is de cyclische frequentie bepaald uit de bewegingsvergelijking.
Wiskundige slinger (formules voor grote amplitudes)
Dit mechanische systeem, dat zijn trillingen met een aanzienlijke amplitude uitvoert, voldoet aan de meer complexe bewegingswetten. Voor zo'n slinger worden ze berekend met de formule:
sin x / 2 = u * sn (ωt / u),
waar sn de Jacobi-sinus is, die voor u <1 een periodieke functie is, en voor kleine u valt het samen met een eenvoudige trigonometrische sinus. De waarde van u wordt bepaald door de volgende expressie:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
waarbij ε = E / mL2 (mL2 is de energie van de slinger).
De bepaling van de oscillatieperiode van een niet-lineaire slinger wordt uitgevoerd volgens de formule:
T = 2π / Ω,
waar Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K is een elliptische integraal, π - 3,14.
Slinger beweging op separatrix
Separatrisoy noemde het traject van de dynamieksysteem, dat een tweedimensionale faseruimte heeft. De wiskundige slinger beweegt er niet-periodiek op. Op een oneindig ver afgelegen punt valt het uit zijn extreme bovenste positie aan de zijkant bij nultoeren en kiest het vervolgens geleidelijk. Uiteindelijk stopt hij en keert terug naar de startpositie.
Als de oscillatie-amplitude van de slinger het aantal benadert πDit suggereert dat de beweging op de fasevlak nadert de separatrix. In dit geval vertoont het mechanische systeem onder de werking van een kleine dwingende periodieke kracht een chaotisch gedrag.
Wanneer de wiskundige slinger afwijkt vanevenwichtspositie met een bepaalde hoek φ ontstaat tangentiële zwaartekracht Fτ = -mg sin φ. Het minteken betekent dat deze raakcomponent gericht is in de richting tegengesteld aan de afwijking van de pendel. Wanneer x wordt aangeduid door de verplaatsing van de slinger langs een boog van een cirkel met een straal L, is de hoekverplaatsing φ = x / L. De tweede wet van Isaac Newton, ontworpen voor projecties van de vector van versnelling en kracht, geeft de gewenste waarde:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Op basis van deze relatie is het duidelijk dat ditde slinger is een niet-lineair systeem, omdat de kracht die ernaar streeft om deze terug te brengen naar de evenwichtspositie altijd evenredig is met de verplaatsing x, maar sin x / L.
Alleen als de wiskundige slingervoert kleine oscillaties uit, het is een harmonische oscillator. Met andere woorden, het wordt een mechanisch systeem dat in staat is harmonische oscillaties uit te voeren. Deze benadering is praktisch geldig voor hoeken van 15-20 °. De oscillaties van een slinger met grote amplituden zijn niet harmonisch.
De wet van Newton voor kleine schommelingen van een slinger
Als dit mechanische systeem kleine oscillaties uitvoert, ziet de 2e wet van Newton er als volgt uit:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
Op basis hiervan kunnen we concluderen datde tangentiële versnelling van de wiskundige slinger is evenredig aan zijn verplaatsing met een minteken. Dit is de toestand waarin het systeem een harmonische oscillator wordt. De modulus van de evenredigheidscoëfficiënt tussen verplaatsing en versnelling is gelijk aan het kwadraat van de cirkelvormige frequentie:
ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.
Deze formule weerspiegelt de natuurlijke frequentie van kleine oscillaties van dit type slinger. Op basis hiervan
T = 2π / ω0 = 2π√g / L.
Berekeningen op basis van energiebesparing
De eigenschappen van de oscillerende bewegingen van een slinger kunnen ook worden beschreven met behulp van de wet van behoud van energie. Men moet in gedachten houden dat de potentiële energie van een slinger in een zwaartekrachtveld is:
E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mg L2 sin 2 α / 2
De totale mechanische energie is gelijk aan het kinetische of maximale potentiaal: Epmax = Ekmsx = E
Nadat de wet van behoud van energie is geschreven, neemt u de afgeleide van de rechter- en linkerkant van de vergelijking:
Ep + Ek = const
Aangezien het derivaat van constante waarden 0 is, is (Ep + Ek) "= 0. Het derivaat van de som is gelijk aan de som van de derivaten:
Ep "= (mg / L * x2 / 2)" = mg / 2L * 2x * x "= mg / L * v + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * v "= mv * α,
daarom:
Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.
Op basis van de laatste formule vinden we: α = - g / L * x.
Praktische toepassing van de wiskundige slinger
Versnelling van de zwaartekracht verandert metgeografische breedte, omdat de dichtheid van de aardkorst over de hele planeet niet hetzelfde is. Waar er rotsen zijn met een grotere dichtheid, zal deze iets hoger zijn. De versnelling van de wiskundige slinger wordt vaak gebruikt voor geologische verkenning. Ze zoeken naar verschillende mineralen. Alleen al het aantal trillingen van de slinger telt, je kunt kolen of erts in de diepten van de aarde vinden. Dit is te wijten aan het feit dat dergelijke mineralen meer dichtheid en massa hebben dan de losse stenen die eronder liggen.
Wiskundige slinger genoten van dergelijkeuitmuntende geleerden zoals Socrates, Aristoteles, Plato, Plutarchus, Archimedes. Velen van hen geloofden dat dit mechanische systeem het lot en het leven van een persoon zou kunnen beïnvloeden. Archimedes gebruikte de wiskundige slinger in zijn berekeningen. Tegenwoordig gebruiken veel occultisten en helderzienden dit mechanische systeem om hun profetieën te vervullen of naar vermiste personen te zoeken.
Beroemde Franse astronoom enDe naturalist K. Flammarion gebruikte ook de wiskundige slinger voor zijn onderzoek. Hij beweerde dat hij met zijn hulp in staat was om de ontdekking van een nieuwe planeet, de verschijning van de Tunguska-meteoriet en andere belangrijke gebeurtenissen te voorspellen. Tijdens de Tweede Wereldoorlog in Duitsland (Berlijn) werkte het gespecialiseerde Instituut voor de Pendel. Tegenwoordig is het Munich Institute of Parapsychology bezig met vergelijkbaar onderzoek. De medewerkers van deze instelling noemen hun werk met de slinger "radiostezia".
